Цена 600 рублей один чертеж формата А3.

Начертательную геометрию из других разделов геометрии выделяет то, что по плоскому изображению предмета можно изучить его геометрические формы, размеры, расположение в пространстве. Эта возможность появляется благодаря применяемым в начертательной геометрии методам проецирования предметов на плоскость.

“Чертеж – язык техники”, – говорил один из создателей начертательной геометрии французский ученый и инженер Гаспар Монж (1746 – 1818 гг.). Дополняя это высказывание Монжа, профессор В. И. Курдюмов (1853 – 1904 гг.) писал: “Если чертеж является языком техники, то начертательная геометрия служит грамматикой этого языка, так как она учит нас правильно читать и излагать наши собственные мысли, пользуясь в качестве слов одними только линиями и точками как элементами всякого изображения”.

Использование методов начертательной геометрии является единственно рациональным путем при конструировании многих сложных поверхностей технических форм. Начертательная геометрия входит в число фундаментальных дисциплин, составляющих основу инженерного образования.

Настоящий конспект лекций содержит изложение основополагающих разделов начертательной геометрии, но не включает в себя такие важные темы, как прямые и плоскости, касательные к поверхностям, развертка поверхностей, некоторые способы преобразования комплексного чертежа и другие, так как эти темы представлены в отдельных методических разработках кафедры и в другой учебной литературе.

В данном конспекте лекций приняты следующие обозначения.

Точки пространства обозначают буквами латинского алфавита: А, В, С или цифрами: 1, 2, 3…

Прямые и кривые линии пространства обозначают строчными буквами латинского алфавита: а, b, с…

Плоскости и поверхности обозначают прописными буквами греческого алфавита: Γ, Θ, Λ, Σ, Φ, Ψ, Ω.

 

 

При образовании комплексного чертежа плоскости проекций обозначают П с добавлением цифр 1, 2, 3, 4…, при этом горизонтальная плоскость проекций обозначается как П1, фронтальная – П2, профильная – П3.

Проекции точек, прямых и плоскостей обозначают, как и их оригиналы, с добавлением соответствующего индекса, например: горизонтальные проекции элементов – А1, а1, Г1; фронтальные – А2, а2, Г2; профильные – А3, а3, Г3.

Для некоторых прямых и плоскостей приняты постоянные обозначения: горизонталь – h, фронталь – f, профильная прямая – p – линии горизонтального, фронтального, профильного уровня.

Углы между элементами обозначают строчными греческими буквами: α,β,γ…

Основные операции обозначают так: ≡ – совпадение; – принадлежность; – пересечение геометрических элементов.

1. МЕТОДЫ И СВОЙСТВА ПРОЕЦИРОВАНИЯ

1.1. Центральное проецирование

Суть метода заключается в том, что предметы (точки, прямые, плоскости, поверхности), находящиеся в пространстве, проецируются на некоторую плоскость лучами, выходящими из одной точки.

Изображение предметов при помощи центрального проецирования обладает хорошей наглядностью, но по такому изображению трудно определить истинную форму и размеры предмета. Проецирование широко применяется в изобразительном искусстве (при построении перспективы), в кинематографии.

При составлении машиностроительных чертежей пользуются другим методом проецирования – параллельным.

1.2. Параллельное проецирование

Существо метода заключается в том, что проецирующие лучи выходят из точки, которая удалена от плоскости проекции в бесконечность. В этом случае проецирующие лучи можно считать параллельными между собой.

Параллельное проецирование отрезка АВ на плоскость П’ представлено на рис. 1.1. Лучи, выходящие из точек А и В, параллельны между собой и параллельны заданному лучу .

1.3. Свойства параллельного проецирования

Параллельное проецирование обладает большими возможностями решения графических задач на основе таких свойств: проекцией точки является точка, прямой – прямая линия, параллельных прямых – параллельные прямые. Если точка делит отрезок прямой в некотором отношении, то и проекции отрезка находятся в таком же отношении.

В зависимости от направления проецирующего луча по отношению к плоскости П’ параллельное проецирование может быть косоугольным (φ ≠ 90°) или прямоугольным (φ = 90°) – ортогональным.

Все машиностроительные чертежи выполняются на основе ортогонального проецирования, так как в этом случае легко устанавливается соотношение между длиной отрезка и его проекциями и соблюдается свойство о проецировании прямого угла плоскости. Читается это свойство так: прямой угол проецируется на плоскость в общем случае с искажением, но одна из сторон пря

мого угла параллельна плоскости проекций – в этом случае проекция прямого угла – 90°. Это свойство является важным при решении геометрических задач.

Рассмотренные методы проецирования предмета на одну плоскость проекций позволяют однозначно решать прямую задачу, т. е. по данному оригиналу строить его чертежи. Однако обратная задача – по данному чертежу воспроизвести оригинал – не решается однозначно. В этом случае говорят – “чертеж необратим”. Для получения обратимых чертежей существуют различные методы дополнения однокартинного чертежа.

1.4. Способы дополнения однокартинного чертежа

Способ с числовыми отметками. Суть способа заключается в том, что недостающая в плоскости проекций пространственная координата отмечается на чертеже числом. Этот способ широко применяется в топографии, при построении профиля дорог, в том числе железнодорожного пути.

Способ академика Федорова. Принципиальное отличие от предыдущего способа состоит в том, что числовые отметки заменяются масштабными отрезками. Способ в основном применяется в кристаллографии.

Способ составления аксонометрических проекции применяют в строительных и машиностроительных чертежах в основном для наглядного изображения предмета.

Способ составления комплексного чертежа наиболее широко применяется при составлении строительных и машиностроительных чер

тежей.

2. ТОЧКА, ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ НА КОМПЛЕКСНОМ

ЧЕРТЕЖЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ

Прежде чем перейти к изображению геометрических элементов на комплексном чертеже, рассмотрим положение некоторой точки А в пространственной системе координат – X, Y, Z (рис. 2.1).

Спроецируем ортогонально точку А на три взаимоперпендикулярные плоскости проекций П1,П2,П3 и получим проекции этой точки: А1 – горизонтальная; А2 – фронтальная,

А3 – профильная. Координаты Аx, Ay, Az определяют положение этой точки в пространстве. Такое наглядное изображение точки, находящейся в пространстве, дает представление о расположении точки относительно плоскостей проекций П1, П2, П3. Однако в этом случае искажаются действительные размеры в системе координат и, самое главное, затрудняется чтение чертежа при изображении сложных предметов. Французский геометр Г. Монж предложил перейти от такого изображения предмета к комплексному чертежу. Комплексный чертеж – это ортогональное изображение предмета на две или более взаимоперпендикулярные плоскости проекций, совмещенные с плоскостью чертежа. Это совмещение происходит следующим образом: плоскости П1 и П3 поворачиваются относительно осей X и Z до положения,

когда они составляют одну плоскость с П2 (рис. 2.2).

На таком комплексном чертеже точка будет изображаться своими проекциями. Чтобы точка на чертеже была задана, достаточно иметь две ее проекции. Размеры представляются на комплексном чертеже в натуральную величину. Предмет можно изучать спереди, сверху, слева, но при этом необходимо иметь навыки пространственного представления на таком чертеже.

Прямая на комплексном чертеже может быть задана двумя точками или своими проекциями. Минимальное количество проекций прямой на чертеже – две (рис. 2.3).

а б

Рис. 2.3

Плоскость на комплексном чертеже может быть задана тремя точками, точкой и прямой, двумя пересекающимися прямыми, двумя параллельными прямыми, плоской геометрической фигурой (треугольник, окружность и т. д.) и др. Плоскость на комплексном чертеже определяют две ее проекции (рис. 2.4).

3. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ ОБЩЕГО И ЧАСТНОГО ПОЛОЖЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ

3.1. Прямые общего положения

Прямые общего положения наклонены ко всем плоскостям проекций и пересекают их. Точки пересечения прямой с плоскостями проекций называются следами прямой. Иногда бывает необходимо их определять. Пусть на чертеже дана прямая а, определим ее следы (рис. 3.1).

Чтобы определить точку пересечения прямой с горизонтальной плоскостью проекций – горизонтальный след, надо продолжить фронтальную проекцию прямой аα до пересечения с осью X, провести перпендикуляр к оси X, продолжить горизонтальную проекцию прямой а1 до пересечения с перпендикуляром. Горизонтальный след обозначается буквой Н. Необходимо обратить внимание на то, что сама точка Н присутствует на чертеже, так как Z = 0, т. е. точка принадлежит плоскости П1.

Чтобы определить фронтальный след F, надо продолжить горизонтальную проекцию прямой до пересечения с осью X, провести перпендикуляр к оси X, продолжить фронтальную проекцию прямой до пересечения с перпендикуляром. Точка F также присутствует на чертеже и совпадает со своей фронтальной проекцией, так как координата Y = 0.

3.2. Прямые частного положения

Прямые частного положения расположены параллельно плоскостям проекций или перпендикулярно им.

Прямые, параллельные плоскостям проекций П1, П2, П3, называются горизонталью (h), фронталью (f) и профильной прямой (p) (рис. 3.2).

а б в

Рис. 3.2

Прямые, перпендикулярные плоскости проекций П1, П2, П3, называются горизонтально (а), фронтально (б) и профильно (в) проецирующими (рис. 3.3).

а б в

Рис. 3.3

3.3. Плоскости общего положения

Плоскости общего положения наклонены ко всем плоскостям проекций и пересекают их. Линии пересечения плоскости с плоскостями проекции называются следами. Часто плоскость задают следами. Чтобы перейти к заданию плоскости следами, необходимо определить следы двух прямых, лежащих в этой плоскости. Пусть дана плоскость треугольником АВС. Определим следы этой плоскости (рис. 3.4).

Сначала определим фронтальный след плоскости. Для этого построим фронтальные следы двух сторон треугольника – АВ и ВС. Через полученные точки F и F’ проводим фронтальный след плоскости f 0 до пересечения с осью X и получаем точку схода следов S, из которой пойдет и горизонтальный след плоскости. Для этого построения достаточно определить горизонтальный след одной какойлибо прямой (например, АС). Тогда через S и H проводим h0 – горизонтальный след плоскости. След плоскости можно строить, проводя его через один след какойто прямой параллельно направлению линии уровня (горизонтали или фронтали), так как горизонталь и фронталь – это линии, параллельные горизонтальному и фронтальному следам плоскости соответственно.

3.4. Плоскости частного положения

Плоскости частного положения расположены параллельно плоскостям проекции или перпендикулярны им.

Плоскости, параллельные плоскостям проекций П1, П2, П3, называют плоскостями горизонтального (а), фронтального (б) и профильного (в) уровня (рис. 3.5).

а б в

Рис. 3.5

Плоскости, перпендикулярные плоскости проекций П1, П2, П3, называются горизонтально (а), фронтально (б) и профильно (в) проецирующими соответственно (рис. 3.6).

а б в

Рис. 3.6

4. ОСНОВНЫЕ ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ

В начертательной геометрии часто возникает необходимость решать практические задачи, связанные с определением взаимного расположения геометрических элементов относительно друг друга, например, нужно определить принадлежность элементов, параллельность, пересечение и т. д. Такие задачи называются позиционными, а решение их основано на свойствах ортогонального проецирования. Рассмотрим решение названных задач в последовательности от простых элементов к сложным, т. е. от точек – к прямым и плоскостям.

4.1. Взаимное расположение двух точек

Положение точки на чертеже определяется координатами. Точка расположена выше другой, если у нее больше координата Z. Точка находится ближе к наблюдателю, если у нее большая координата Y. От профильной плоскости проекции дальше удалена та точка, у которой больше координата Х.

Практический интерес вызывают точки, расположенные на одном перпендикуляре к плоскости проекций (рис. 4.1). Такие точки на чертеже называются конкурирующими. По ним определяется видимость элементов на чертеже. Из двух конкурирующих точек видимой считается та, у которой больше координата на другой плоскости проекций.

В данном случае видимой на фронтальной плоскости проекций будет точка b, так как у нее больше координата Y.

Рис. 4.1 Рис. 4.2

4.2. Взаимное расположение прямой и точки

Точка принадлежит прямой, если ее проекции принадлежат одноименным проекциям прямой (рис. 4.2).

4.3. Взаимное расположение двух прямых

Прямые относительно друг друга могут быть параллельными (рис. 4.3, а), пересекающимися (б), скрещивающимися (в).

а бв

Рис. 4.3

4.4. Взаимное расположение точки и плоскости

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой, лежащей в этой плоскости.

Пример. Плоскость задана следами (h0 f 0). Требуется построить точку А, принадлежащую этой плоскости (рис. 4.4).

Решение. Так как в плоскости можно построить бесчисленное множество точек, принадлежащих этой плоскости, то на одной из плоскостей проекций произвольно ставим одну проекцию точки (например, А2), но вторую проекцию А1 находим из условия принадлежности точки плоскости. Для этого через А проводим прямую, т. е. через А2 проводим h2 до пересечения с f 0, определяем горизонтальную проекцию точки 1 и из 11 параллельно горизонтальному следу проводим h1, на которой и отмечаем А1.

4.5. Взаимное расположение прямой и плоскости

Прямая принадлежит плоскости, если имеет две общие точки или одну общую точку и параллельна какойлибо прямой, лежащей в плоскости. Пусть плоскость на чертеже задана двумя пересекающимися прямыми. В данной плоскости требуется построить две прямые m и n в соответствии с этими условиями (Г (а b)) (рис. 4.5).

Решение. 1. Произвольно проводим m2, так как прямая принадлежит плоскости, отмечаем проекции точек пересечения ее с прямыми а и b и определяем их горизонтальные проекции, через 11 и 21 проводим m1.

2. Через точку К плоскости проводим n2║m2 и n1║m1.

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какойлибо прямой, лежащей в плоскости.

Пересечение прямой и плоскости. Возможны три случая расположения прямой и плоскости относительно плоскостей проекций. В зависимости от этого определяется точка пересечения прямой и плоскости.

Первый случай – прямая и плоскость – проецирующего положения. В этом случае точка пересечения на чертеже имеется (обе ее проекции), ее нужно только обозначить.

Пример. На чертеже задана плоскость следами Σ (h0 f 0) – горизонтально проецирующего положения – и прямая l – фронтально проецирующего положения. Определить точку их пересечения (рис. 4.6).

Точка пересечения на чертеже уже есть – К(К1К2).

Второй случай – или прямая, или плоскость – проецирующего положения. В этом случае на одной из плоскостей проекций проекция точки пересечения уже имеется, ее нужно обозначить, а на второй плоскости проекций – найти по принадлежности.

а б

Рис. 4.7

П р и м е р ы. На рис. 4.7, а изображена плоскость следами фронтально проецирующего положения и прямая l – общего положения. Проекция точки пересечения К2 на чертеже уже имеется, а проекцию К1 необходимо найти по принадлежности точки К прямой l. На

рис. 4.7, б плоскость общего положения, а прямая m – фронтально проецирующего, тогда К2 уже есть (совпадает с m2), а К1 нужно найти из условия принадлежности точки К плоскости. Для этого через К проводят

прямую (h – горизонталь), лежащую в плоскости.

Третий случай – и прямая, и плоскость – общего положения. В этом случае для определения точки пересечения прямой и плоскости необходимо воспользоваться так называемым посредником – плоскостью проецирующей. Для этого через прямую проводят вспомогательную секущую плоскость. Эта плоскость пересекает заданную плоскость по линии. Если эта линия пересекает заданную прямую, то есть точка пересечения прямой и плоскости.

П р и м е р ы. На рис. 4.8 представлены плоскость треугольником АВС – общего положения – и прямая l – общего положения. Чтобы определить точку пересечения К, необходимо через l провести фронтально проецирующую плоскость Σ, построить в треугольнике линию пересечения Δ и Σ (на чертеже это отрезок 1,2), определить К1 и по принадлежности – К2. Затем определяется видимость прямой l по отношению к треугольнику по конкурирующим точкам. На П1 конкурирующими точками взяты точки 3 и 4. Видима на П1 проекция точки 4, так как у нее координата Z больше, чем у точки 3, следовательно, проекция l1 от этой точки до К1 будет невидима.

На П2 конкурирующими точками взяты точка 1, принадлежащая АВ, и точка 5, принадлежащая l. Видимой будет точка 1, так как у нее координата Y больше, чем у точки 5, и следовательно, проекция прямой l2 до К2 невидима.

На рис. 4.9 изображены плоскость общего положения (задана следами) и прямая m также общего положения. Чтобы определить точку пересечения m и плоскости, надо через m2 провести Σ2 – фронтально проецирующую плоскость, построить линию пересечения двух плоскостей (отрезок 1,2), отметить К1 и по принадлежности этой точки прямой l определить К2.

4.6. Взаимное пересечение двух плоскостей

Первый способ построения линии пересечения двух плоскостей состоит в следующем. Вводят вспомогательную плоскость Г (рис. 4.10), строят линии пересечения вспомогательной плоскости с двумя заданными и при пересечении построенных линий находят общую точку К двух заданных плоскостей. Для нахождения второй общей точки К’ построение повторяют с помощью второй вспомогательной плоскости Г’.

В качестве вспомогательных плоскостей обычно берут плоскости частного положения – плоскости уровня относительно плоскостей проекции (горизонтальные, фронтальные) или проецирующие (перпендикулярные к плоскостям).

Рис. 4.10

Для построения линии пересечения двух плоскостей можно использовать точки пересечения двух прямых, принадлежащих одной из плоскостей, с другой плоскостью. Для этого точку пересечения прямой с плоскостью строят, как это указано в подразд. 4.5, т. е. через заданную прямую проводят вспомогательную проецирующую плоскость, строят пересечения вспомогательной и заданной плоскостей, в пересечении построенной линии с заданной прямой отмечают искомую точку. Определим линию пересечения двух треугольников вторым из указанных выше способов (рис. 4.11). Точка пересечения прямой КЕ с плоскостью треугольника АВС – М – найдена с помощью вспомогательной фронтально проецирующей плоскости Ф, фронтальный след которой совпадает с К2Е2. Вспомогательная плоскость пересекается с плоскостью треугольника АВС по линии 12. Пересечение горизонтальных проекций этой линии и прямой КЕ – М1 – является горизонтальной проекцией первой точки линии пересечения заданных плоскостей, ее фронтальная проекция построена по принадлежности прямой КЕ.

Аналогичным способом найдена и точка N, которая является точкой пересечения прямой ВС с плоскостью треугольника DЕК. Разница только в том, что в качестве вспомогательной взята горизонтально проецирующая плос

кость Г, горизонтальный след которой совпадает с В1С1. Эта плоскость пересекает треугольник DЕК по линии 34. Пересечение фронтальных проекций этой линии и прямой ВС – точка N2 – является фронтальной проекцией искомой точки, ее горизонтальная проекция находится по принадлежности прямой ВС.

Видимость геометрических элементов на комплексном чертеже определяется с помощью конкурирующих точек, проекции которых на какуюлибо плоскость проекции совпадают. Из двух горизонтально конкурирующих точек на П1 видна будет та, у которой больше высота, т. е. координата Z, а из двух фронтально конкурирующих видима та, у которой больше координата Y.

Видимость плоскостей треугольников на горизонтальной плоскости проекций определена с помощью горизонтально конкурирующих точек 3 и 5, а на фронтальной – с помощью фронтально конкурирующих точек 2 и 6. Точка 3 расположена выше точки 5 (координата Z у нее больше), поэтому она будет видимой на П1. Так как эта точка принадлежит прямой KD, то и прямая будет видимой.

На фронтальной проекции видимой будет прямая KE, так как принадлежащая ей точка 6 видимая – она расположена ближе к наблюдателю (координата Y у нее больше), чем конкурирующая с ней точка 2.

5. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КОМПЛЕКСНОГО ЧЕРТЕЖА

Преобразования комплексного чертежа необходимы для решения позиционных и метрических задач. Преобразования осуществляются двумя принципиальными способами: заменой плоскостей проекций или изменением положения предмета относительно плоскостей проекций. Здесь будет рассмотрен только первый способ преобразования.

Все преобразования комплексного чертежа можно свести к решению четырех основных задач:

1) прямая общего положения преобразуется на чертеже в прямую уровня;

2) прямая уровня преобразуется в проецирующую прямую;

3) плоскость общего положения преобразуется в плоскость проеци

рующую;

4) плоскость проецирующая преобразуется в плоскость уровня.

5.1. Способ замены плоскостей проекций

Сущность способа заключается в том, что на чертеже вводится новая плоскость проекций таким образом, что предмет по отношению к ней занимает частное положение.

Рассмотрим применение этого способа к решению четырех основных задач на преобразование.

П е р в а я з а д а ч а: прямая общего

положения преобразуется в прямую уровня (рис. 5.1).

Чтобы преобразовать прямую AB общего положения в прямую уровня, необходимо ввести новую плоскость проекций параллельно АВ, т. е. на чертеже провести новую координатную ось параллельно А1В1 или А2В2. В рассматриваемом случае координатная ось П1 проведена параллельно А1В1, таким образом введена новая фронтальная плоскость проекций. Для построения проекции отрезка на этой плоскости нужно из А1 и В1 провести линии связи, перпендикулярные координатной оси П1/П4.

Так как высота прямой в пространстве не изменилась, то от оси П1/П4 на соответствующих линиях связи откладываем высоту точек А и В, получаем А4 и В4. Проекции прямой А1В1 и А4В4 дают положение прямой АВ, параллельное новой фронтальной плос

кости проекций. Проекция А4В4 – натуральная величина отрезка АВ. Угол между натуральной величиной прямой и горизонтальной проекцией – это угол наклона АВ к горизонтальной плоскости проекций П1. Если есть необходимость определить угол наклона прямой АВ к фронтальной плоскости проекций, тогда координатную ось П2/П5 необходимо провести параллельно А2В2 и на линиях связи от этой оси отложить Ау и Ву.

Угол между натуральной величиной и фронтальной проекцией и есть угол (β) наклона прямой АВ к П2.

Часто для определения натуральной величины отрезка и углов наклона прямой к плоскостям проекций пользуются способом прямоугольного треугольника, который является следствием из решения первой задачи на преобразование (рис. 5.2).

Натуральная величина отрезка есть гипотенуза прямоугольного треугольника, один катет которого – сама проекция отрезка, другой катет по величине является разностью координат концов отрезка, взятой на другой плоскости проекций.

В т о р а я з а д а ч а: прямая уровня преобразуется в прямую проецирующую (рис. 5.3).

Для решения этой задачи необходимо новую плоскость проекций провести перпендикулярно натуральной величине прямой А1В1. Проекции А1В1 и А4В4 дают положение прямой АВ, перпендикулярное новой фронтальной плоскости проекций П4.

Т р е т ь я и ч е т в е р т а я з а д а ч и: плоскость общего положения преобразуется в плоскость проецирующую, и плоскость проецирующая – в плоскость уровня.

Решение этих двух задач приведено на рис. 5.4. Пусть дана плоскость общего положения – задана треугольником АВС. Чтобы преобразовать ее в проецирующую, нужно ввести новую плоскость проекций перпендикулярно треугольнику АВС, но на комплексном чертеже это возможно в том случае, если провести плоскость проекций перпендикулярно линиям уровня или следам плоскости.

С этой целью проведем в плоскости треугольника АВС горизонталь. Перпендикулярно h1 проведем координатную ось (П1/П2). Прямая уровня h преобразовалась в прямую проецирующую h(h1h4). Из проекции вершин треугольника А1,В1,С1 проведем линии связи и от (П1/П4) отложим соответствующие координаты А2,В2,С2. Проекция треугольника А4,В4,С4 представляет собой прямую линию.

Рис. 5.4

Таким образом, плоскость общего положения преобразована в плоскость проецирующую. Угол между проекцией треугольника А4В4С4 и координатной осью является углом наклона плоскости к П1.

Для преобразования проецирующей плоскости в плоскость уровня (решение четвертой задачи на преобразование), необходимо построить новую плоскость проекций параллельно проекции треугольника А4В4С4, провести линии связи и отложить координаты точек, взятые из П1, т. е. от оси П1/П4 до А1,В1,С1. Проекция треугольника А5В5С5 является натуральной величиной треугольника АВС.

6. РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ МЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

ПРЕОБРАЗОВАНИЯМИ КОМПЛЕКСНОГО ЧЕРТЕЖА

6.1. Определение расстояний

1) Между двумя точками. Решение сводится к определению натуральной величины отрезка способом прямоугольного треугольника.

2) Между прямой и точкой. Решение – прямую преобразовать в проецирующую прямую (рис. 6.1).

3) Между точкой и плоскостью. Решение – плоскость преобразовать в проецирующую (рис. 6.2).

4) Между двумя параллельными прямыми. Решение – на одной прямой взять точку, вторую преобразовать в проецирующую.

5) Между двумя скрещивающимися прямыми. Решение – одну из прямых преобразовать в проецирующую прямую (рис. 6.3).

6) Между прямой и параллельной ей плоскостью. Решение – на прямой взять точку и плоскость преобразовать в проецирующую.

7) Между двумя параллельными плоскостями. Решение – на одной из плоскостей проекций взять точку, а вторую плоскость преобразовать в проецирующую.

Рис. 6.3

6.2. Определение углов наклона прямых

1) Между двумя пересекающимися прямыми. Решение – преобразовать плоскость, заданную двумя пересекающимися прямыми, в плоскость уровня.

2) Между двумя скрещивающимися прямыми. Решение – скрещивающиеся прямые заменяют пересекающимися таким образом, чтобы их положение в пространстве по отношению к плоскостям проекций не изменилось. Затем плоскость, заданную двумя пересекающимися прямыми, преобразовать в плоскость уровня (рис. 6.4).

а б

Рис. 6.4

3) Между прямой и плоскостью. Решение – из точки, взятой на прямой, опускают перпендикуляр n на плоскость, тогда прямая и перпендикуляр составляют плоскость. Эту плоскость преобразуют в плоскость уровня и определяют угол при вершине А.

Искомый угол между прямой и плоскостью определяется как дополнительный в прямоугольном треугольнике: = 90°– (рис. 6.5).

Рис. 6.5

4) Между двумя гранями. Решение – линию пересечения двух плоскостей (общее ребро двугранного угла) преобразуют в проецирующее положение

(рис. 6.6).

6.3. Определение угла наклона плоскости к плоскости проекции

Решение 1. Проводят линии наибольшего наклона плоскости и способом прямоугольного треугольника определяют угол наклона этих прямых к

П1 и П2.

Линии наибольшего наклона – эта линии, лежащие в заданной плоскости и перпендикулярные линиям уровня (или следам плоскости).

Пример. Дана плоскость треугольника АВС. Определить угол наклона треугольника АВС к П1 (рис. 6.7).

В плоскости проводим горизонталь h и из точки В опускаем перпендикуляр к горизонтали, т. е. линию наибольшего наклона к П1. Способом прямоугольного треугольника определяем натуральную величину отрезка ВD. Угол между натуральной величиной и горизонтальной проекцией отрезка и является углом наклона АВС к П1.

Решение 2. Заданную плоскость преобразуют в плоскость проецирующую, т. е. решают третью задачу на преобразование (см. рис. 5.4).

7. ПОВЕРХНОСТИ

7.1. Образование поверхностей. Классификация

В начертательной геометрии образование поверхностей рассматривают как результат движения некоторой образующей линии по направляющей. И образующая, и направляющая могут быть прямыми или кривыми линиями. В зависимости от вида образующей и закона изменения направляющей получается та или иная поверхность.

Если образующей является прямая линия, то поверхность называется линейчатой. К линейчатым поверхностям относятся следующие:

конические – образованы перемещением образующей по некоторой направляющей, причем образующая имеет одну неподвижную точку, которая называется вершиной конической поверхности;

цилиндрические – образующая, перемещаясь по направляющей, всегда остается параллельной некоторой заданной прямой;

винтовые – прямолинейная образующая перемещается по винтовой линии, причем угол между образующей и осью вращения остается постоянным;

поверхности с плоскостью параллелизма – прямая перемещается по двум скрещивающимся линиям, оставаясь всегда параллельной некоторой плоскости, называемой плоскостью параллелизма. Среди поверхностей с плоскостью

параллелизма различают цилиндроиды – направляющими являются две скрещивающиеся кривые; коноиды – направляющие – скрещивающиеся линии, но одна из них прямая; косая плоскость – направляющие – две скрещивающиеся прямые.

В качестве примера линейчатой поверхности на рис. 7.1, 7.2 приведены конус, цилиндр, прямой и наклонный геликоиды, косая плоскость. Если поверхности образованы вращением образующей вокруг некоторой прямой, то их называют поверхностями вращения.

а б в

Рис. 7.1

Образующая поверхности вращения, лежащая в плоскости, проходящей через ось вращения, называется меридианом. Сечение поверхности плоскостью, перпендикулярной оси, является окружностью, его называют параллелью. Параллель с наименьшим радиусом называют горлом, с наибольшим – экватором (рис. 7.3).

а б

Рис. 7.2

7.2. Задание и изображение поверхностей

на чертеже

Из всех возможных способов образования поверхности необходимо выбирать такие, которые являются наиболее простыми и более удобными для изображения или для решения данной задачи. Чтобы задать поверхность на комплексном чертеже, достаточно иметь на нем такие элементы поверхности, которые позволяют построить каждую ее точку. Совокупность этих элементов поверхности называют определителем поверхности.

Часто поверхность задается проекциями своих направляющих и указывается способ построения ее образующих. Для придания чертежу большей наглядности в большинстве случаев на нем строят еще и очерк поверхности. Очерком поверхности называют проекции контурной линии.

Приведем примеры изображения некоторых поверхностей.

1. Пусть поверхность (однополостный гиперболоид) задана на чертеже (рис. 7.4) определителем: образующая l вращается вокруг скрещивающейся с ней осью i. Требуется построить очерк этой поверхности.

Решение выполним на рис. 7.5. При вращении прямой l вокруг оси i все точки прямой опишут окружности различных радиусов. Возьмем на прямой четыре точки и построим проекции окружностей при их вращении. Точка А вращается по окружности наименьшего радиуса АО, т. е. эта окружность является горлом поверхности. Точки В и С в рассматриваемом примере вращаются по окружности одинакового радиуса. Произвольная точка М выбрана между горлом и верхним основанием этой поверхности. На горизонтальной проекции очерком поверхности будет являться окружность. На фронтальной, соединив крайние точки проекции окружностей точек, получим очерк, представляющий собой ветви гиперболы. Таким образом, построены проекции однополостного гиперболоида.

Рис. 7.4 Рис. 7.5

По классификации эта поверхность может быть отнесена и к линейчатым (образующая – прямая), и к нелинейчатым (образующая – гипербола).

2. Построить проекции цилиндра вращения. Решение – поверхность образована вращением прямой вокруг параллельной ей оси (рис. 7.6).

3. Построить проекции конуса вращения. Решение – поверхность образована вращением прямой вокруг пересекающейся с ней оси (рис. 7.7).

Рис. 7.6 Рис. 7.7 Рис. 7.8

4. Построить проекции тора. Решение – поверхность образована вращением окружности вокруг оси i, не проходящей через ее центр (рис. 7.8).

5. Построить проекции эллипсоида. Решение – поверхность образована вращением эллипса вокруг оси (рис. 7.9).

6. Построить проекции параболоида. Решение – поверхность образована вращением параболы вокруг оси i (рис. 7.10).

Рис. 7.9 Рис. 7.10Рис. 7.11

7. Построить проекции двуполостного гиперболоида вращения. Реше

ние – поверхность образована вращением гиперболы вокруг ее действительной

оси i (рис. 7.11).

Более подробные сведения о классификации и изображении поверхностей можно получить в работах [1 – 4].

7.3. Пересечение поверхностей плоскостью

Линия пересечения поверхности с плоскостью представляет собой плоскую замкнутую линию, которая может быть плоской замкнутой ломаной прямой в случае пересечения многогранников. Линия определяется минимальным, но достаточным количеством точек, принадлежащих этой линии. Поверхность конуса вращения изображена на рис. 7.12. При различном наклоне секущей плоскости по отношению к оси конуса и образующим линия сечения представляет собой окружность, эллипс, гиперболу, параболу, пару прямых. При построении проекций эллипса достаточно иметь проекции точек, определяющие большую и малую оси. При построении параболы, гиперболы достаточно иметь проекции пяти точек, включая точки их вершин. При построении окружности необходимо знать ее центр и радиус. При построении линии пересечения многогранников необходимо определять точки пересечения ребер одного с гранями другого.

При определении линии пересечения поверхности плоскостью желательно иметь плоскость в проецирующем положении. С этой целью, при необходимости, выполняют преобразования комплексного чертежа. Тогда на одной из плоскостей проекции линия пересечения уже имеется, а на другой ее нужно определить из условия принадлежности точки поверхности. Это условие формулируется так: точка принадлежит поверхности, если принадлежит линии, лежащей в этой поверхности.

П р и м е р 1. Построить проекции сечения конуса вращения плоскостью Σ2 (рис. 7.13).

Решение. Так как плоскость Σ является фронтально проецирующей и пересекает все образующие конуса, то в сечении получается эллипс.

На фронтальной плоскости проекций эллипс совпадает с Σ2. Крайние точки А и В являются большой осью эллипса. На средине отрезка АВ находится малая ось эллипса СD. Решение задачи сводится к определению горизонтальных проекций точек А, В, С, D. Проекции А1 и В1 определены из условия, что эти точки принадлежат очерковым образующим конуса, их горизонтальные проекции совпадают с горизонтальной штрихпунктирной линией.

Чтобы определить проекции точек С1, D1, через проекции точек C2, D2 проводим параллель, т. е. окружность, на которой лежат точки С, D. По большой и малой осям эллипса строится овал с помощью циркуля или лекала [5].

П р и м е р 2. Построить проекции линии сечения сферы проецирующей плоскостью Σ (рис. 7.14).

Решение. Так как плоскость фронтально проецирующая, то на П2 линия сечения уже есть, она совпадает с Σ2. Линия сечения представляет собой окружность, не параллельную П2, поэтому проекция этой окружности на П1 будет представлять собой эллипс. Чтобы построить этот эллипс, необходимы проекции точек большой и малой осей. Отрезок А2В2 является диаметром окружности в натуральную величину, т. е. фронталью, тогда А1В1 является малой осью эллипса. Проекции точек С2D2, лежащие на середине [А2В2], являются сопряженным диаметром фронтально проецирующего положения. Следовательно, С1D1 = [СD] = dопр является большой осью эллипса. По большой и малой осям можно построить эллипс, но полезно предварительно построить точки смены видимости Е и F, которые лежат на экваторе. Линия эллипса слева от Е1 и F1 невидима, так как она находится под сферой.

П р и м е р 3. Построить проекции линии сечения поверхности конуса плоскостью общего положения (а h) (рис. 7.15).

Решение. Преобразуем плоскость общего положения в проецирующую способом замены плоскостей проекций. Для этого перпендикулярно горизонтали h1 проводим координатную ось П1/П4 и на П4 строим проекции плоскости и конуса, отмечаем большую ось А4В4 и малую С4≡D4. По принадлежности определяем проекции точек А1, В1, С1, D1, затем с условием видимости –

А2, В2, С2, D2.

Рис. 7.15

7.4. Пересечение поверхностей с прямой

Универсальным способом определения точек пересечения прямой с поверхностью является способ вспомогательных секущих плоскостей, суть которого заключается в следующем: чтобы определить точки пересечения прямой с поверхностью, необходимо через прямую провести проецирующую плоскость, построить линию пересечения этой плоскости с поверхностью и отметить точки пересечения этой линии с прямой, которые и являются точками пересечения прямой с поверхностью.

П р и м е р 1. Построить точки пересечения поверхности вращения (тора) с прямой l (рис. 7.16).

Решение. Через проекцию прямой l2 проводим фронтально проецирующую плоскость Σ и строим на П1 проекцию линии пересечения этой плоскости с тором. Отмечаем точки пересечения этой линии с прямой l – М1 и N1. По принадлежности находим фронтальные проекции точек М2N2, определяем видимость этих точек и затем – всей прямой l.

Иногда рациональнее определять точки пересечения некоторых поверхностей с прямой с помощью преобразования комплексного чертежа.

П р и м е р 2. Построить пересечение сферы с прямой (рис. 7.17).

Решение. Через l1 проводим горизонтально проецирующую плос

кость t. Плоскость пересекает сферу по окружности t1 с центром О. Параллельно плоскости окружности проводим ось П1/П4, из О1 – линию связи перпендикулярно П1/П4, определяем О4 и радиусом окружности проводим ее на П4. Строим проекцию и отмечаем точки М4 и N4, которые являются точками пересечения прямой со сферой. По принадлежности, с учетом видимости, определяем проекции точек М1, N1 и М2, N2.

Рис. 7.16 Рис. 7.17

П р и м е р 3. Построить точки пересечения поверхности кругового цилиндра с прямой l (рис. 7.18).

Решение. Поверхность цилиндра можно представить в проецирующем положении, для чего достаточно заменить плоскость проекций П1 на П5. Построить проекции цилиндра и прямой, отметить точки М5 и N5, затем по принадлежности, с учетом видимости, – М2, N2, и М1, N1.

При построении точек пересечения прямой с эллиптическими цилиндрической или конической поверхностями целесообразно проводить вспомогательные плоскости через прямую параллельно образующим цилиндра или через вершину конуса соответственно. В этом случае плоскости пересекают эти поверхности по образующим; там, где эти образующие пересекают прямую, и находятся точки пересечения прямой с поверхностью. Образующие определятся при пересечении следа плоскости с основанием цилиндра (конуса).

П р и м е р 4. Определить точки пересечения прямой l с поверхностью наклонного эллиптического конуса (рис. 7.19).

Решение. Через две произвольные точки прямой 1, 2 и вершину

конуса S проводим прямые. Определяем горизонтальный след полученной плоскости. Из точек пересечения следа плоскости и основания конуса проводим образующие. Отмечаем точки пересечения образующих и прямой – М1, N1 и М2, N2, которые и являются точками пересечения прямой l и конуса.

П р и м е р 5. Определить точки пересечения прямой l с поверхностью наклонного эллиптического цилиндра (рис.7.20).

Решение. Через две произвольные точки прямой 1, 2 проводим прямые параллельно образующим цилиндра. Определяем горизонтальный след полученной плоскости. Из точек пересечения горизонтального следа и основания цилиндра проводим образующие. Отмечаем точки пересечения образующих и прямой – М1, N1, M2, N2, которые и являются точками пересечения прямой l и цилиндра.

Рис. 7.20

7.5. Взаимное пересечение поверхностей

7.5.1. Пересечение многогранников

Линия пересечения в общем случае является замкнутой пространственной ломаной прямой. Определяется точками пересечения ребер одного многогранника с гранями другого. Точки пересечения ребер с гранями объединяются в звенья. Звено считается видимым, если принадлежит видимым граням. В случае, когда один многогранник – призма, целесообразно на чертеже ее представить в проецирующем положении. Пример построения линии пересечения пирамиды и призмы приведен на рис. 7.21. Так как призма горизонтально проецирующего положения, то на плоскости П1 проекция линии пересечения уже есть, она обозначена точками пересечения ребер пирамиды с гранями призмы – 11, 21, 31 и 41, 51, 61, 71, 81. Линия пересечения в приведенном примере представляет собой два замкнутых контура. Один из них – плоская фигура (треугольник с вершинами, обозначенными точками 1 – 3), второй – пространственный пятиугольник (точки 4 – 8).

Фронтальные проекции линии пересечения определяются по принадлежности точек 1, 2, 3, 4, 5, 7 ребрам пирамиды, а точек 6 и 8 – граням пирамиды АВ и ВС соответственно, для чего через точки 61 и 81 в этих гранях проводятся прямые l и l’.

7.5.2. Пересечение многогранника с криволинейной поверхностью

Линия пересечения в общем случае представляет собой замкнутую пространственную ломаную кривую, которая определяется пересечением граней многогранника с криволинейной поверхностью. Если одна из поверхностей является призмой или цилиндром, то для решения на чертеже их удобно представить в проецирующем положении.

Пример. Дан конус, имеющий призматическое отверстие, образованное четырьмя фронтально проецирующими гранями. Требуется определить линию пересечения (рис. 7.22).

Решение. Так как грани отверстия фронтально проецирующие, то проекция линии пересечения на П2 уже имеется (совпадает с самими проекциями этих граней). Чтобы определить горизонтальную проекцию линии пересечения, достаточно построить проекции линий от этих четырех граней отверстия. Начнем с верхней грани. Эта грань параллельна основанию кругового конуса, поэтому она его пересекает по части окружности, ограниченной слева точками 1 и 2. Радиус этой дуги по величине соответствует отрезку от осевой конуса до точки на очерковой образующей конуса (R). Вторая грань представляет собой плоскость, пересекающую конус по параболе. Для ее построения достаточно продолжить грань до пересечения с очерковой образующей конуса – получить вершину параболы (точка 3) и определить точки 4 и 5 из условия принадлежности точки поверхности. Пересечение третьей грани с конусом дает часть гиперболы, ограниченную точками 4, 5 и 6, 7. Горизонтальная проекция этой гиперболы будет представлять собой отрезки [41, 51] и

[61, 71].

Четвертая грань параллельна основанию, поэтому горизонтальная проекция линии пересечения проецируется в натуральную величину (частью окружности радиуса R’).

Пример построения линии пересечения цилиндра и пирамиды приведен в работе [1, с. 54].

7.5.3. Взаимное пересечение криволинейных

поверхностей

Линия пересечения в общем случае – замкнутая пространственная плавная кривая. Она определяется опорными точками (точками, имеющими на чертеже хотя бы по одной проекции), экстремальными (наиболее удаленными), точками смены видимости, при необходимости – промежуточными точками.

Пример. Определить линию пересечения поверхности конуса и цилиндра (рис. 7.23).

Решение. Так как цилиндр является поверхностью фронтально проецирующего положения, то горизонтальная проекция этой линии уже есть, она совпадает с проекцией цилиндра. Проекцию цилиндра на П1 определяем из условия принадлежности точки поверхности. Вначале определим опорные точки – 1, 5, 5′, 6, затем – экстремальные – 3, 3′, которые будут и точками смены видимости, после этого – промежуточные – 2, 2′, 4, 4′. Недостающие проекции экстремальных и промежуточных точек определяем с помощью параллелей, приведенных на поверхности конуса. Пример построения цилиндра и конуса приведен в работе [1, с. 136].

Для некоторых поверхностей, состоящих из конуса и пирамид, линию их пересечения целесообразно определить с помощью “связки” плоскостей. Для этого через вершины этих поверхностей проводят ряд секущих плоскостей, пересекающих поверхности по образующим конуса и по прямым (в гранях пирамиды). Пересечение этих прямых, принадлежащих разным поверхностям, дает общие точки, по которым строят линию пересечения [1, с. 134].

Пересечение цилиндрической и конической поверхностей целесообразно определить с помощью так называемых “вращающихся” вспомогательных плоскостей [1, с. 54]. Линию пересечения эллиптических цилиндров удобно определять с помощью “пучка” параллельных секущих плоскостей [1, с. 138].

8. ОСОБЫЕ СЛУЧАИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ КРИВОЛИНЕЙНЫХ

ПОВЕРХНОСТЕЙ

Ранее было отмечено, что линия пересечения двух криволинейных поверхностей представляет собой пространственную кривую (кривую четвертого порядка). В некоторых случаях эта кривая распадается на плоские кривые (кривые второго порядка). Рассмотрим четыре основных случая.

1. Если две поверхности второго порядка пересекаются в одном месте по плоской кривой, то и в других местах они пересекаются по плоской кривой.

Пример. Даны сфера и эллиптический конус, причем основание конуса вписано в сферу (рис. 8.1).

Решение. Так как основание конуса в этом случае представляет собой плоскую кривую (окружность), то верхняя часть конуса пересекается со сферой по плоской кривой.

2. Если в две пересекающиеся поверхности второго порядка можно вписать сферу, то линия их пересечения представляет собой две плоские кривые.

Пример. Даны цилиндр и конус. Оси поверхностей пересекаются

(рис. 8.2).

Решение. Так как в эти поверхности можно вписать сферу, то линия пересечения будет представлять собой две плоские кривые (два эллипса).

3. Если две пересекающиеся поверхности второго порядка имеют две точки касания, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые. Плоские кривые пересекаются между собой в точках касания поверхностей.

Пример. Даны два цилиндра (круговой и эллиптический) (рис. 8.3).

Решение. Так как поверхности имеют две точки касания, то линия пересечения будет представлять собой две плоские кривые (в данном случае – окружность и эллипс).

4. Сфера, пересекаясь с соосной поверхностью вращения (поверхности соосные, если имеют общую ось вращения), в пересечении дает окружности. Число этих окружностей соответствует количеству пересечений поверхности сферой (рис. 8.4).

На основании этого свойства сферу можно принимать в качестве посредника при определении линии пересечения некоторых поверхностей.

8.1. Сфера в качестве посредника при определении

линии пересечения поверхностей

Сферу в качестве посредника при определении линии пересечения двух поверхностей можно применять в случаях, если поверхности являются поверхностями вращения, оси поверхностей пересекаются или оси поверхностей составляют плоскость, параллельную плоскости проекции.

Существует два способа применения вспомогательных сфер.

1. Способ концентрических сфер. Рассмотрим применение этого способа на примере пересечения наклонного цилиндра и закрытого тора (рис. 8.5).

Так как поверхности удовлетворяют трем перечисленным условиям, для определения линии пересечения этих поверхностей воспользуемся вспомогательными сферами. Из точки пересечения осей поверхностей проводим несколько сфер. Сфера самого маленького радиуса проводится из условия, чтобы она касалась одной из поверхностей и пересекала другую. В данном примере сфера минимального радиуса касается тора и пересекает цилиндр.

Это значит, что вспомогательная сфера пересекает цилиндр и тор по окружностям. Точка пересечения окружностей тора и цилиндра является общей для этих поверхностей. Для получения дополнительных действительных точек проводят сферы радиусом не более чем до наиболее удаленной опорной точки.

2. Способ эксцентрических сфер. Применение этого способа рассмотрим на примере пересечения кругового конуса и открытого тора (рис. 8.6).

Сущность способа заключается в том, что в створе между опорными точками проводится секущая плоскость, которая пересекает тор по окружности. Построим вспомогательную сферу, которая пересекала бы тор по этой окружности. Для этого из центра окружности (С2) проведем касательную к штрихпунктирной окружности до пересечения с осью конуса (О2). Из этой точки радиусом R проводим сферу, которая пересекает и тор, и конус по окружностям. Пересечение этих окружностей даст общую точку (12 ≡ 1´2). По принадлежности находим (11 ≡ 1´1). По аналогии находим еще несколько общих точек пересечения.

В заключение конспекта лекций отметим, что для успешной сдачи студентом экзамена по начертательной геометрии необходимо знать теоретический материал, полученный на лекциях и законспектированный в собственной тетради (особенно это касается студентов очного обучения).

На практических занятиях при выполнении контрольных работ и подготовке к экзамену желательно использовать изданный конспект лекций и специальную литературу, приведенную в библиографическом списке.